Vierter Beweis: Wahrscheinlichkeitstheorie¶

Sei G ein beliebiger Graph mit der Knotenmenge \(V = \{ v_1,...,v_n \}\) und seien der Grad der Knoten angegeben als \(d_j\) für den Knoten \(v_j\). Sie zudem \(\omega(G)\) für die Kreiszahl von G, also der Grad des größten Kreises in G.

Nehmen wir an es gilt

Wählt man nun eine beliebige Permutation der Knotenmenge \(\pi = v_1,v_2,...,v_n\), wobei jede mit der selben Wahrscheinlichkeit \(\frac{1}{n!}\) auftreten kann. Konstruiert man nun \(C_{\pi}\) so, dass wir einen Knoten \(v_i\) nur genau dann in \(C_{\pi}\) ist, wenn \(v_i\) benachbart zu allen \(v_j (j < i)\), also vorherigen Knoten ist. Per Definition ist \(C_{\pi}\) ein p-Kreis in G. Setzt man nun \(X = \mid C_{\pi} \mid\) die dazugehörige Zufallsvariable, wobei \(X = \sum^n_{i=1} X_i\) und \(X_i\) die Zufallsvariable zu dem Knoten \(v_i\). Sei \(X_i = 1\) wenn \(v_i \in C_{\pi}\) und \(X_i = 0\) wenn \(v_i \notin C_{\pi}\).