Erster Beweis: Induktion über p¶

Voraussetzung¶

Sei G ein ungerichteter Graph der n+1-ten Ordnung, bestehend aus einer Knotenmenge \(V = \{ v_0,...,v_n \}\) und einer Kantenmenge E, welche zwei verbundene Knoten \(v_i, v_j\) mit \(0 \le i < j \le n\) definiert als

\[(v_i, v_j) \in E\]

Induktionsanfang¶

Sei p = 2, so gilt

\[\mid E \mid \le (1 - \frac{1}{p-1})\frac{n^2}{2} = (1 - \frac{1}{2-1})\frac{n^2}{2} = (1 - 1)\frac{n^2}{2} = 0 \frac{n^2}{2} = 0\]

Dies ist trivialerweise wahr, da ein Kreis bestehend aus zwei Knoten exakt eine Kante benötigt.

Induktionsvoraussetzung¶

\[\mid E \mid \le (1 - \frac{1}{p-1})\frac{n^2}{2}\]

Induktionsschluss¶

Zum Beweis des Induktionsschlusses nutzen wir eine zweite Induktion über n:

Sei n < p, so ist die Aussage wahr, da es keinen p großen Kreis mit n verschiedenen Kanten geben kann.

Sei \(n \ge p\), so gibt es einen (p - 1)-Kreis A, da ansonsten noch weitere Kanten hinzufügbar wären. Setzt man nun B := V A, so lässt sich die Anzahl der Kanten in A (\(e_A\)), B (\(e_B\)) und zwischen A und B (\(e_{A,B}\)) abschätzen:

Die Anzahl der Kanten in A beträgt \({ p - 1 \choose 2}\), da A aus p-1 Kanten besteht und \({ n \choose k}\) der Anzahl der Kombinationsmöglichkeiten von n Objekten in Tupel der Größe k entspricht.

Für die Anzahl der Kanten in B gilt

\[e_B \le \frac{1}{2}(1 - \frac{1}{p - 1})(n - p + 1)^2\]

Für die Kanten zwischen A und B ergibt sich

\[e_{A,B} \le (p - 2)(n - p + 1)\]

Daraus ergibt sich für die Gesamtanzahl der Kanten

\[\begin{split}\begin{align} \begin{split} \mid E \mid &= e_A + e_{A,B} + e_B \\ &\le { p - 1 \choose 2} + \frac{1}{2}(1 - \frac{1}{p - 1})(n - p + 1)^2 + (p - 2)(n - p + 1) \\ &= .... \\ &= (1 - \frac{1}{p - 1})\frac{n^2}{2} \\ \end{split} \end{align}\end{split}\]

Somit ist das Theorem per Induktion bewiesen.

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